【PL理论深化】(13) 变量与环境：文法结构 | 真假表达式：isZero E | let 表达式叠放 | 定义的规则

【PL理论深化】(13) 变量与环境：文法结构 | 真假表达式：isZero E | let 表达式叠放 | 定义的规则 | 条件语句的使用

💬 写在前面：从现在开始，让我们正式设计和实现编程语言。首先，让我们扩展在之前定义的整数表达式语言，以便可以使用变量和条件表达式。

0x00 文法结构

0x01 真假表达式：isZero E

0x02 let 表达式叠放

0x03 定义的规则

0x04 条件语句的使用

0x00 文法结构

扩展后的语言的文法结构如下，在整数表达式语言中增加了四种文法：

在程序中，可以在任意可以出现表达式的位置使用变量 $x$ (随机变量)

let $x$ = $E_1$ in $E_2$ 是一个声明变量 $x$ 的表达式。

它先将 $E_1$ 的值赋给 $x$ ，然后计算 $E_2$ 的值。在此期间，变量 $x$ 的有效范围是 $E_2$ 。

if $E_1$ then $E_2$ else $E_3$ 是一个条件表达式，其计算方式如下。

此后，我们约定符号 $\top$ 表示 true，符号 $\bot$ 表示 false。

首先计算表达式 $E_1$ ，其结果必须是 $\perp$ 或 $\top$ 。

如果 $E_1$ 的值是 $\top$ ，则计算 $E_2$
如果 $E_1$ 的值是 $\bot$ ，则计算 $E_1$ 。

0x01 真假表达式：isZero E

为了使用条件表达式，需要创建产生 真/假 的表达式，因此我们添加了语法：

$\textrm{iszero}\,\, E$

它计算表达式 $E$ 的值，如果值为 0，则计算为 $\top$ ，否则为 $\bot$ 。

由于它类似于 OCaml 的语法，可以很容易感受到可以编写哪些程序，举几个例子：

下面是一个程序，首先变量 $x:= 1$ ，然后计算 $x+2$ 的值，结果是 3

let x = 1 in x + 2

0x02 let 表达式叠放

在 let 表达式的 $E_2$ 位置上可以放置另一个 let 表达式

let x = 1
in let y = 2
  in x + y

表达式 $x+y$ 中， $x$ 和 $y$ 分别代表 1 和 2，因此程序的计算结果是 3。

也可以在 let 表达式的 $E_1$ 位置上放置另一个 let 表达式，如下所示。

let x = let y = 2
        in y + 1
in x + 3

表达式 let y = 2 in y + 1 的值为 3，将其命名为 $x$ 后，计算表达式 $x+3$ 的结果为 6。

在计算表达式 $x+3$ 时，请注意变量 $y$ 不可用。

变量 $y$ 的作用范围仅限于表达式 $y+1$ ，因此在其他地方无法使用。

因此，下面的程序在语法上没有问题，但在执行时会出现问题。

let x = let y = 2
        in y + 1
in x + y

0x03 定义的规则

可以多次使用相同的名称进行定义，如下所示。

let x = 1
in let y = 2
    in let x = 3
        in x + y

在最后一行计算 $x+y$ 时， $x$ 表示最后定义的值 3，因此 $x+y$ 的值是 5。

重新定义具有相同名称的变量并不会改变先前变量的值。

使用 let 定义变量并不是修改现有变量的值，而是创建一个新名称，在其作用域内具有意义。

例如下面的程序：

let x = 1
in let y = let x = 2
           in x + x
    in x + y

上述程序计算的结果是 5。第一行定义变量 $x:= 1$ ，第二行定义的 $x:= 2$ 。

因此第三行的 $x+x$ 的值是 4，因此变量 $y$ 的值为 4。

在最后一行的表达式 $x+y$ 中，变量 $x$ 指的是第一行定义的 $x$ ，因此 $x+y$ 的值为 5。

0x04 条件语句的使用

条件语句的使用如下所示。这是一个计算整数 1 的程序。

let x = 1
in let y = 2
    in if iszero (x - 1) then y - 1 else y + 1

现在，由于程序不仅可以计算整数，还可以计算真 / 假值，因此存在一些由于类型不匹配而无法执行的程序，即存在 类型错误 (type error) 的程序。例如，看下面的程序。

let x = 1
in let y = iszero x
    in x + y

加法是针对两个整数定义的操作，但由于 $y\in \left \langle bool \right \rangle$ ，因此在计算 $x+y$ 时会发生类型错误。

由于我们的语言目前没有静态类型系统，所以无法在执行前发现这类类型错误。

如果在运行过程中发生类型错误，程序将会因此而非正常终止。

📌 [ 笔者 ]   王亦优
📃 [ 更新 ]   2022.9.14
❌ [ 勘误 ]   /* 暂无 */
📜 [ 声明 ]   由于作者水平有限，本文有错误和不准确之处在所难免，
              本人也很想知道这些错误，恳望读者批评指正！

📜 参考资料

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- T. Cormen《算法导论》（第三版），麻省理工学院出版社，2009年。

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- R. Sedgewick&K. Wayne，《算法》（第四版），Addison-Wesley，2011

- S. Dasgupta，《算法》，McGraw-Hill教育出版社，2006。

- S. Baase&A. Van Gelder, Computer Algorithms: 设计与分析简介》，Addison Wesley，2000。

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- S. Skiena, The Algorithm Design Manual (2nd ed.), Springer, 2008.

- A. Aho, J. Hopcroft, and J. Ullman, Design and Analysis of Algorithms, Addison-Wesley, 1974.

- M. Weiss, Data Structure and Algorithm Analysis in C (2nd ed.), Pearson, 1997.

- A. Levitin, Introduction to the Design and Analysis of Algorithms, Addison Wesley, 2003. - A. Aho, J. Hopcroft, and J. Ullman, Data Structures and Algorithms, Addison-Wesley, 1983.

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- R. Sedgewick, Algorithms in C: 第1-4部分（第三版），Addison-Wesley，1998

- R. Sedgewick，《C语言中的算法》。第5部分（第3版），Addison-Wesley，2002

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